Блог вчителя математики: Методична скарбничка

Нормативна база

Розробки уроків

Урок математики у 10 класі

Розв’язування прикладних задач

Мета:

· удосконалювати вміння знаходити довжину похилої, проекції, відстані від точки до площини;

· удосконалювати вміння знаходити похідну, значення похідної у заданій точці;

· розвивати вміння використовувати математичний апарат при розв’язуванні прикладних задач;

· виховувати культуру математичної мови, комунікативність.

Методична мета: використання методів кубика Блума та фішбоуна для формування наскрізних вмінь учнів у світлі педагогіки емпауерменту.

Хід уроку

Все, що я пізнаю, я знаю,для чого це мені потрібно,

де і як я можу ці знання застосувати.

В. Кильпатрик

1. Організаційний момент.

Прочитаємо епіграф. (Вільям Кильпатрик – видатний американський педагог). Думаю, що більшість людей повністю погодяться з цими словами. Дійсно, коли ми щось вивчаємо, думаємо, де можна застосувати свої знання та вміння. І сьогодні ми спробуємо свої знання з алгебри та геометрії використати при розв’язуванні прикладних задач. Запишіть тему уроку «Розв’язування прикладних задач». А що це за задачі? Сьогодні ми поговоримо про труднощі, які виникають при розв’язуванні таких задач та спробуємо намітити шляхи подолання цих труднощів (складемо алгоритм розв’язування задач).

2. Етап виклику.

Всі ви знаєте про жахливий стан наших доріг. Хтось же повинен займатися цим питанням. Сьогодні ми спробуємо віртуально навести порядок. Але, зрозуміло, почати можна справу, маючи багаж знань. Тож почнемо. Зараз за допомогою цього кубика ми зможемо перевірити своє вміння мислити. Групі учнів було запропоновано завдання підібрати запитання для граней кубика.

Сформулюй ознаку перпендикулярності прямої і площини.

Чому перпендикуляр коротший за будь-яку похилу?

Поясни, в чому полягає фізичний зміст похідної?

Запропонуй, як продовжити речення : якщо пряма перпендикулярна площині, то…

Придумай задачу за малюнком.

Поділись своєю думкою. Чи правильне твердження: пряма, проведена на площині перпендикулярно проекції похилої, не завжди перпендикулярна до цієї похилої.

3. Розв’язування вправ.

Давайте подивимось на проект нашої ділянки дороги, яку ми почнемо будувати. (розглянути проект). Так як мета нашого уроку використання знань у життєвих ситуаціях (а життя цифри не підбирає), для обчислень ви можете використовувати калькулятори.

Задача 1 (пропонується всім учням)

На одній із ділянок дороги треба прокласти асфальтове покриття на гору висотою 250 м. За державними будівельними нормами України уклін дороги не повинен перевищувати 10% від довжини ділянки. У нашому випадку уклін дороги 5º. Якою довжини асфальтне покриття треба прокласти? (389м).

Для безпеки руху слід між полосами дороги прокласти відбійник. Над цим буде працювати бригада. Але ми до бригади повернемось пізніше. Треба зробити деякі розрахунки. І зараз надамо слово групі «Економістів», які повідомлять вам нову корисну інформацію.

( «Економісти» про економічний зміст похідної)

Після виступу «Економістів» групі учнів дати задачу 3.

До ліхтарного стовпа прикріпили дві опорні рейки довжиною 4 м, кут між якими 60º. Кут між відрізками, які з’єднують основи рейок з основою стовпа, 90º. Знайти висоту ліхтарного стовпа. Скільки таких споруд треба для нашої ділянки дороги, якщо відстань між стовпами 45 м? Висота стовпа 4м., кількість споруд – 8-9).

Поки ця група працює із задачею, один із учнів- «економістів» разом з класом виконує завдання. А ми повертаємось до відбійника. А що це таке? Надійна система захисних обгороджувань, які ставлять між полосами руху, вздовж дороги. Більшість, навіть, не замислюється, наскільки важливими є ці смуги металу, і скільки тисяч людських життів вони щороку рятують.

Задача 2

Обсяг продукції цеху по виготовленню деталей для відбійника, виражається функцією U = - + 15 + 75 + 425. Знайти продуктивність бригади за зміну, яка триває 6 годин. ( відповідь 147 деталей).

Нам же треба забезпечити роботою людей. Скільки змін треба працювати бригаді, щоб зробити деталі для відбійника, якщо на 1м треба 8 деталей? ( 21 зміна). ≈ 21 зміна.

Які ще запитання до задачі можна поставити? (1. Скільки заробить робітник за зміну, якщо за кожну деталь платять 25 гривен? Бригада складається із 7 робітників.) (525 грн). 2. Якою буде зарплатня робітника у лютому, якщо він працює через день? Першого лютого була його зміна. ( всього 14 змін. Отже, 525 помножимо на 14. 7350грн.)

Нашу ділянку дороги слід освітлити. Цими розрахунками займалась група. Надаємо їм слово. ( задача 3).

Наша ділянка готова до експлуатації. Сподіваємось, що всі учасники руху будуть дотримуватись правил дорожнього руху та не будуть створювати аварійні ситуації.

4. Рефлексія (фішбоун).

Ми розв’язували прикладні задачі. Іноді це було легко, іноді не дуже. Зараз ви в групах виділіть труднощі, які виникають при цьому та як їх вирішити. ( на дошку прикріпити «рибу»). Голова риби – це наше питання «Прикладна задача», хвіст – висновок «Використання математичного апарату». Верхня частина – проблеми, з якими ми стикаємось, нижня – що допомагає вирішити проблеми. Дивіться, у нас склався алгоритм розв’язування прикладної задачі: перекласти задачу на математичну мову ( скласти модель), розв’язати модель, проаналізувати відповідь.

5. Оцінювання.

6. Домашнє завдання.

Домашня робота також присвячена ділянці дороги.

Вздовж дороги довжиною 389 м треба поставити паркан. Для його виготовлення знадобляться дерев’яні бруси.

1. Відомо, що брус, поперечним перерізом якого є прямокутник, має
найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, опущені з вершини
цього прямокутника на його діагональ, ділять її на три рівні частини.

Визначте найбільші розміри перерізу бруса найбільшої міцності, якого треба випиляти із колоди циліндричної форми діаметром 24 см.

Для шумопоглинання вздовж доріг використовують зелені насадження.

2. Шумозахисні насадження треба проектувати у вигляді посадок не нижче ніж 7 м, забезпечуючи відстані між стовбурами дорослих дерев з широкою кроною 8 м, з середньою кроною –5м, з вузькою кроною –3м . Скільки саджанців тополі слід придбати, щоб посадити з обох сторін дороги вздовж ділянки завдовжки 389м?

Задача 3

Урок алгебри в 11 класі

Розв’язування вправ з теми «Застосування похідної»

Мета:

· узагальнити та систематизувати знання учнів про диференціальне числення;

· удосконалювати навички знаходження похідних;

· формувати вміння використовувати математичний апарат при розв’язуванні практичних задач;

· розвивати мислення;

· виховувати інтерес до предмету, соціально-особистісну, інформаційну компетентності.

Методична мета: використання прийомів критичного мислення для розвитку математичної компетентності.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Мотивація. Ви всі стоїте на порозі вибору майбутньої професії. Сучасні фахівці повинні добре володіти математичним апаратом, який має надзвичайне значення для багатьох професій. Використання ж теорії диференціального числення є важливим для розвитку сучасної промисловості, економіки, бізнесу, фінансової справи. І сьогодні ми будемо розв’язувати прикладні задачі на застосування похідної. Запишіть тему уроку «Розв’язування прикладних задач». До речі, достатня кількість завдань в ЗНО з даної теми. А більше 70% учнів класу здають ЗНО з математики. І сьогодні будуть запропоновані задачі із ЗНО минулих років.

3. Актуалізація опорних знань. Кожен з вас колись опиниться перед вибором робочого місця. Уявіть, що деяка фірма пропонує вам співпрацю. Для цього вам треба:

o скласти резюме;

o пройти стажування;

o обговорити зарплату;

o виконати своє перше завдання і отримати результат від фірми.

Це і будуть етапи нашого уроку. Ми віртуально спробуємо влаштуватись на роботу. І так, резюме. Що це? ( документ, в якому подаються короткі відомості про навчальну, трудову діяльність та успіхи особи, яка його складає. Вимоги до документу – вичерпність і лаконічність. Мета – зацікавити роботодавця своєю кандидатурою). Для складання резюме треба використовувати якомога більше термінів.

Нам для виконання завдань також треба добре розбиратися у термінології з даної теми. Група учнів отримала завдання скласти кросворд, під час заповнення якого ми перевіримо знання термінології. (Учні заповнюють кросворд в парах). Перевіряємо. ( Добре впоралися із завданням. )

Ще одна група розповість дещо із історії похідної. ( Ваше резюме ми також врахуємо під час виставлення оцінок після виконання завдань).

4. Розв’язування вправ.

Переходимо до етапу стажування. Вам будуть запропоновані завдання в картинках. Вони матимуть варіанти відповідей. Вам треба вибрати правильну, на вашу думку, відповідь та скласти цифровий код. Такі завдання містяться в ЗНО в першій частині.

І. На рисунку зображено графік функції y = f(x) та дотичні до нього в точках х₁ та х₂. Користуючись геометричним змістом похідної, знайти f' '(x₁)+f' '(x₂).

1) ;

2) 1+ ; 3) ; 4) - .

ІІ. Функція у = f(x) визначена на інтервалі.

На рисунку зображений графік її похідної. Знайдіть точку мінімуму функції.

3) 0,5; 5) -4; 6) 2; 9) 0.

ІІІ. На рисунку зображено графік функції

у = f ' (х). Вказати кількість точок екстремуму.

3) 5; 8) 3; 9) 4; 0) 6.

ІV. На рисунку зображено графік функції

у = f ' (х). Вказати кількість точок максимуму функції.

1) 4; 5) 6; 7) 2; 6) 3.

Розібрати завдання Який код ви отримали? 1696.. Невеличка історична довідка. У цьому році французький математик Гийом Лопіталь сформулював правило, яке має відношення до диференціального числення. Про нього вам розповість Горбачова Людмила під час захисту курсової роботи.

Продовжуємо розв’язувати задачі із ЗНО. Ми знаємо, що похідна має ще і механічний зміст та використовується при розв’язуванні задач з фізики. Пропоную вам таку задачу.

Задача ЗНО 2013 .

Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом s(t)=t²+t+l. Відстань вимірюється в метрах, час t - в секундах. Знайти:

а) діючу силу; б) кінетичну енергію тіла через 2 с після початку руху

Увага! Прискорення виражається похідною а(t) = v ' (t).

Розв’язання:

F=ma; v(t)=S'(t)=2t+1; a(t)=v'(t)=2м/с².

F= 2∙2=4H

E= , v(2)=2∙2+1=5м/c

E= =25 Дж

Відповідь: 4H; 25 Дж.

У нас була ще одна група. Її завдання було скласти завдання на логіку (такий собі логічний лабіринт). Кожен отримує карточку з двома таблицями. Протягом 4 хвилин треба встановити закономірність та заповнити порожні клітинки.

(роздати на парти карточки).

*х³+*	*3х² +*

*10х - 3*	10
*+ 2х²*	*?(4х)*

*4х +*x³ – 2	*4 +3х²*	6х
*sin x*	*cos x*	*- sin x*
*+ х² -2х*	?	?
? *5х²-х³-8х*	*10х – 3х²-8*	? *(10-6х)*

Поки учні класу працюють з картками, учні цієї групи займуться обговоренням з керівництвом фірми розмір зарплати.

Задача.

Об’єм продукції, яку виготовляє робітник, описується функцією

А(t) = 4,5 t³ – 2t²+ 200. Скільки деталей виготовить робітник за зміну, що триває 6 годин? Якою буде заробітна плата за місяць, в якому 21 робочий день і за кожну деталь робітник отримає 4 грн?

(після розв’язання презентують результати).

Переходимо до етапу отримання свого завдання на фірмі. Ми отримали завдання підприємницького характеру. Надаю слово Горбачовій Л. Практичною частиною моєї курсової роботи є створення збірки із задачами на використання похідної. Пропоную вам одну із них.

Задача.

5. Рефлексія. Ми пройшли всі етапи віртуального влаштування на роботу. Більшість із вас фірма б працевлаштувала і цінувала. Декому, можливо, відмовила б з побажанням ще попрацювати над собою.

Стосовно теми уроку можна зробити висновок, що похідна застосовується у багатьох сферах науки. Основний зміст похідної у прикладних задачах – це швидкість зміни функції. За допомогою похідної можна визначати не тільки швидкість прямолінійного руху тіла, а й миттєві швидкості багатьох процесів: хімічної реакції – одного із вирішальних факторів, які треба враховувати в багатьох областях науково-виробничої діяльності; радіоактивного розпаду, нагрівання тіла, розмноження бактерій і т.д. Взагалі, якщо який-небудь процес відбувається за законом y=f(t), то його швидкість у момент t можна знайти за формулою f '( t ). А в економіці похідна застосовується для знаходження продуктивності праці за законом зміни об’єму продукції.

Розкажіть про свої враження від уроку.

6. Оцінювання.

7. Домашнє завдання.

Задача . (для тих, хто складав логічний лабіринт). Матеріальна точка рухається за законом s(t)=2t2 + 5t, де s вимірюється в метрах, а t в секундах. Знайти значення t (у секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної точки дорівнює 64 м/с. (ЗНО – 2011). Відповідь подати у вигляді десяткового дробу.

Відповідь: t = 14,75 с.

Алгебра 9- Б

Розв’язування вправ з теми «Нерівності»

Мета:

· удосконалювати вміння розв’язувати нерівності;

· удосконалювати вміння записувати числові проміжки;

· формувати вміння використовувати математичний апарат при розв’язуванні прикладних задач;

· розвивати логічне мислення

· виховувати вміння самоорганізовуватись;

· виховувати культуру математичної мови.

Методична мета: використання міні проектів з метою розвитку само ефективної особистості.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Повідомлення теми уроку. Ми працюємо з темою «Нерівності». Що ми вже знаємо та вміємо робити? (знаємо: що таке нерівність, які бувають нерівності, властивості нерівностей; вміємо: порівнювати числа, доводити нерівності, використовувати властивості нерівностей для оцінювання виразів). Сьогодні на уроці ми будемо удосконалювати вміння розв’язувати нерівності і, головне, подивимось, де в повсякденному житті можна зустрітися з нерівностями. Ви часто чуєте, що багато життєвих задач можна розв’язати, використовуючи набуті в школі знання. Зверніть увагу на таблицю самооцінювання. Заповнюйте її по ходу уроку.

3. Актуалізація опорних знань.

Тест ( вибрати правильну, на вашу думку, відповідь. Із обраних букв скласти слово).

Тест «Нерівності» (5 хв)

1. Яке з чисел є розв’язком нерівності 2х – 5 > 7

а) 1; д) 4; к) -2; о) 9.

2. Оцінити значення виразу 3у, якщо -1 < у < 2:

п) 3 <3 у < 6; д) - 3 <3 у < 6; л) -6 <3 у < 3; м) ) -6 <3у < -3.

3. На якому з рисунків зображено нерівність х > -2

р) к) с)

-2 -2 -2

4. Записати у вигляді проміжку а≤ 5

б) ( -∞; 5) ; т) [5; ∞); в) (5; ∞ ); з) (-∞; 5].

5. Вказати найбільше натуральне число, яке належить проміжку

(-∞; 2,5]

а) 0; б) 1; в) 2; г) 2.5.

6. Порівняти числа а та в, якщо а + 7 = в – 9

е) а > в; л) а ≤ в; р) а ≥ в; я) а < в.

7. Записати у вигляді проміжку множину точок, зображених на рисунку

-5 4

в) (-5; 4]; п) (-5; 4); и) [ -5; 4]; о) [-5; 4).

Яке слово розшифрували? (здоров’я)

Це слово виникло не випадково. В колегіумі розпочалась акція «Молодь за здоров’я». І ми про це будемо говорити не тільки на годині спілкування , а й на уроці. Дехто з вас виявив бажання виконати міні проекти: опрацювати певну інформацію та скласти задачі.

4. Розв’язування вправ.

Я хочу нагадати, які чинники впливають на здоров’я.

Як бачите, більше половини визначає спосіб життя. Це і здорове харчування, і заняття спортом, і відсутність шкідливих звичок. ____було запропоновано розібратися із базовою задачею. І зараз _____ виконає індивідуальну роботу. (учень працює самостійно – задача 2).

Я запрошую_____________ презентувати результати своєї роботи. (дієтологи, задача про здорове харчування). Задача 1. ( додаток 1)

(Робота за підручником. Ст.63, № 3(4).)

Задача 2(презентує учень розв’язання).

У новому мікрорайоні будинки розташовані так, як показано на малюнку( три будинки є вершинами трикутника, четвертий знаходиться у внутрішній області трикутника)

З метою безпеки район огороджено. Родина

живе у центральному будинку. Для підтримки

спортивної форми учень робить пробіжки тричі

на день. Доведіть, що якщо кожного разу він буде бігти із свого будинку до чергового кутового будинку, то за день пробіжить більше, ніж половина огорожі.

Задача. Для правильної подачі денного світла у стоматологічний кабінет треба встановити вікно площею не менше 7м². Яких мінімальних розмірів (у натуральних числах) треба замовити вікно, якщо одна із його сторін 2 м, а інша сторона повинна бути на 1м більше, ніж довжина шафи у цьому кабінеті? Яка найменша довжина шафи у натуральних числах? (Нехай х- довжина шафи, тоді розміри вікна 2 м та (х+1)м, складаємо нерівність 2(х+1) ≥ 7; х≥2,5. Натуральне число х=3. Тобто довжина шафи 3 м,розміри вікна 2м на 4 м).

Ви говорили, що ми вже доводили нерівності. Який метод при цьому використовували? (метод різниці). Я пропоную довести нерівність

(1+а)(1+в) ≥ 4 .

Доведення цієї нерівності спирається на одну особливу нерівність. Я запрошую______________ для доведення цієї нерівності (нерівність Коші – одна із нерівностей реферативної роботи).

Сьогодні більшість наших задач пов’язані із здоров’ям. І я запрошую ______ для презентації задачі (про шкоду паління).

Задача 3. ( додаток 2)

5. Підсумок. Що цінного винесли з уроку? Чим поповнили свою скарбничку знань?

6. Оцінювання.

7. Домашнє завдання. С.64, №6(2,3), с. 77, № 1(1,2), с.90, №1(2,3).

Додаток 1

Сніданок – найважливіший прийом їжі за добу, адже дає нам заряд енергії на день. Дієтологи рекомендують вживати зранку такі продукти:

Вівсянка (Овес багатий на антиоксиданти, омега-3 жирні кислоти, фолієву кислоту та калій. Допомагає людині довше відчувати насичення і може сприяти зниженню рівня холестерину).

Яйця (Яйця є популярним сніданком. Вони поживні і містять високоякісний білок. Вживання яєць сприяє зменшенню окружності талії, ваги і відсотку жиру).

Горіхи та горіхова паста (Горіхи - дуже важливий продукт для тих, хто не їсть продукти тваринного походження. Вони містять білок, антиоксиданти, магній, калій і корисні для серцево-судинної системи жири).

Сік, чай з лимоном.

Сир (Сир багатий на білок і здатен прогнати голод так само ефективно, як і яйця).

Ягоди та фрукти (Вони мають низьку енергетичну цінність, але високий вміст клітковини і містять корисні антиоксиданти).

Йогурт (йогурт є ще одним чудовим джерелом білків, які корисно споживати вранці).

За сніданок бажано вживати не більше 535 ккал.

Вівсянка - 137 ккал на 100 г.

Яйця - одне яйце 95 ккал.

Горіхи волоські - 654 ккал на 100 г.

Ягоди – 80-90 ккал на 100 г, одне середнє яблуко – 70 ккал.

Сир – 120 ккал на 100 г.

Грецький йогурт – 107 ккал на 100 г.

Сік – 55 ккал на 100 г. Чай з лимоном без цукру – 6ккал на 100 г.

Задача. Я на сніданок хочу з’їсти 200 г вівсянки, декілька варених яєць та випити чашку чаю з лимоном. Яку максимальну кількість яєць можна з’їсти?

Неха1 х- кількість яєць, які можна з’їсти. Складаємо нерівність

2·137 +2·12+ 95х≤ 535.

У відповідь запишемо найбільший натуральний розв’язок нерівності.

Додаток 2

Тютюновий дим містить 1200 різних компонентів, які є фармакологічно активними, токсичними, мутагенними й канцерогенними. Від куріння 1 сигарети утворюється до 2 л. диму.

Основна отруйна речовина тютюнового диму - нікотин. Він добре всмоктується через слизову оболонку рота, дихальну систему, органи травлення і шкіру. Передусім нікотин впливає на центральну і вегетативну нервову систему. При тривалому вдиханні тютюнового диму утворюються сприятливі умови для розвитку гастриту, виразкової хвороби шлунку та дванадцятипалої кишки.

Чадний газ приводить до загибелі окремих м’язових волокон. У курців атеросклероз розвивається на 10-15 років раніше. Зменшується здатність крові переносити кисень.

Акролеїн є продуктом неповного згорання, має різкий запах, подразнює слизові оболонки і викликає сльозотечу, провокує розвиток астми, а також підвищує ризик розвитку онкологічних захворювань.

Бензол. Курець у середньому за добу споживає приблизно в 10 разів більше бензолу ніж той, хто не курить. Постійний вплив цієї речовини на людину призводить до лейкопенії, анемії.

Бенз(а)пірен належить до ароматичних вуглеводів, міститься в тютюновій смолі. При курінні тютюн осідає на слизових оболонках органів дихання та сприяє виникненню ракових пухлин.

Формальдегід здатен викликати гострі і хронічні отруєння, йому властива загально токсична дія. Низькі концентрації формальдегіду викликають у людини подразнення очей, носа і шкіри, нудоту, головний біль і запаморочення, вищі викликають відчуття утруднення дихання в грудях, головний біль, сильне серцебиття.

Задача. У димі однієї сигарети міститься:

нікотину – 4,5-6 мг,

аміаку – 1-1,6 мг,

чадного газу – 23-25 мг,

синильної кислоти -0,2-0,3 мг.

Скільки шкідливих речовин потрапить до організму людини за день, якщо спалити 6 сигарет? (розв’язання задачі).

Доведено, що постійне паління протягом 15 років скорочує при цьому середню тривалість життя на 9–12 років. Тож тривалість нашого життя в наших руках.

Складаємо подвійні нерівності. Оцінимо значення виразу 6N, де N – сума шкідливих речовин із однієї сигарети.

Таблиця самооцінювання на уроці

___________________________________

п.і. учня

Вид роботи	Максимальна кількість балів	Кількість балів
Виконання тесту	7 балів
Активність на уроці	3 бали
Правильність відповідей на уроці	2 бали
Всього балів

Блог вчителя математики

Методична скарбничка

Немає коментарів:

Дописати коментар

Популярні публікації